4. November 2011

Die Entdeckung einer neuen Welt

Illustration der "Elemente der Geometrie" Euklids, um 1310
"(...) ich habe so erhabene Dinge herausgebracht, dass ich selbst erstaunt war und es ewig schade wäre, wenn sie verloren gingen; wenn Sie, mein teurer Vater, es sehen werden, so werden Sie es erkennen; jetzt kann ich nichts weiter sagen, nur so viel, dass ich aus Nichts eine neue, andere Welt geschaffen habe."
Fast zweihundert Jahre sind vergangen, seit ein junger Ungar diese Worte an seinen Vater richtete.

Welcher Vater wäre nicht beunruhigt, wenn sein Sohn derart enthusiasmierte Worte zu Papier brächte? Was war geschehen: Litt der junge Mann an Megalomanie? Hatte er bewusstseinverzerrende Drogen genomnen? Hielt er sich gar in einem Schub religiösen Wahns für den wiedergekehrten Gottessohn?

Nichts von alledem.

Der einundzwanzigjährige János Bolyai (1802 - 1860), Sohn des Mathematikers Farkas Wolfgang Bolyai, hatte eine Nuss geknackt, die den abendländischen Philosophen seit zweitausend Jahren schwer zu denken gab:

Er hatte die Frage beantwortet, welchen Status das sogenannte "Parallelen-Axiom" des Euklid genießt, und darüberhinaus - was zuvor als unmöglich galt - eine Geometrie konstruiert, die auf dieses Postulat verzichtete.

Um zu verstehen, weshalb dies mehr als nur eine interessante Entdeckung in einer abstrusen Wissenschaft war, weshalb es den jungen Bolyai so erregte, dass man sich um seinen Verstand Sorgen machen musste, ein kleiner Exkurs:

Über Jahrhunderte gab es einen klaren Kanon dessen, was ein freier Mann zu wissen hatte, die sogenannten sieben freien Künste: das trivium (Grammatik, Rhetorik und Dialektik) und das höhere quadrivium (Arithmetik, Geometrie, Musik und Astronomie).
"Quare liberalia studia dicta sunt vides: quia homine libero digna sunt," ("Du siehst, warum die freien Künste so genannt werden: weil sie eines freien Mannes würdig sind“)
belehrte Seneca einen Schüler.

Frei war, wer seinen Lebensunterhalt nicht durch die Arbeit seiner Hände verdienen musste und wer sich dem edelsten menschlichen Tun widmen konnte: dem Verständnis der kosmischen Ordnung, dem Einblick in die Gesetze der göttlichen Schöpfung.


Und die Grundlage dieses Studiums, die Voraussetzung für alle höheren Studien (Philosophie, Theologie), war ein Buch, das im Abendland eine Verehrung genoss, die man sonst nur noch den Werken des Aristoteles zuteil werden ließ: die "Elemente" des Euklid.

Der griechische Mathematiker hatte mit einer Strenge und Präzision, die heute noch Staunen macht, das gesamte Lehrgebäude der Geometrie (und diese begriff damals die Arithmetik in sich) auf eine Handvoll Postulate und Axiome gegründet, aus denen sich alle weiteren Lehrsätze herleiten ließen.

Der Charme dieser Sätze war, dass sie unmittelbar einsichtig waren, evident.

Diese euklidische Geometrie hat die abendländische Neigung zum Idealismus mindestens ebenso befördert wie alle Werke Platos zusammen genommen.

Denn was bedeutet es, wenn ich - ohne Zuhilfenahme empirischer Messungen - rein logisch folgernd aus vier, fünf unmitelbar einsichtigen Sätzen die Eigenschaften von Dreiecken, Kreisen, Zylindern und Kugeln ableiten kann?

Es bedeutet, dass der menschliche Geist den Kosmos verstehen kann (oder, christlich formuliert) dass Gottes Schöpfungswort in einer uns verständlichen Sprache (der Mathematik) gesprochen ist.

Dieser Glaube hat über Jahrhunderte all die Sterndeuter und Musiker, Naturphilosophen und Dichter beseelt, die sich als freie Menschen dem Studium der Wissenschaften widmeten.

Nun gab es in Euklids Geometrie ein Postulat, das sogenannte Parallelenaxiom, dessen Stellung im Gebäude der Mathematik die Forscher beunruhigte.

In einer modernen Formulierung lautet es:

"In einer Ebene α gibt es zu jeder Geraden g und jedem Punkt S außerhalb von g genau eine Gerade, die zu g parallel ist und durch den Punkt S geht."

Anders als die anderen Grund-Sätze Euklids schien dieser Satz den Mathematikern keineswegs evident, und Generationen von Forschern setzten sich die Aufgabe nachzuweisen, dass das Parallenaxiom eben keines sei, sondern sich aus den anderen Axiomen herleiten lasse.

Und János Bolyai hatte bewiesen, dass dies nicht möglich war*. Mehr noch: Man konnte das Axiom fallenlassen und durch einen anderen Grundsatz ersetzen und gleichwohl zu einer völlig schlüssigen Geometrie kommen, eine Geometrie, in der es mehr als eine Gerade gab, die die Anforderungen erfüllte (hyperbolische Geometrie) oder gar keine (elliptische Geometrie):


Euklidische, elliptische und hyperbolische Geometrie

Eine Vorstellung vom Gemeinten gewinnt man, wenn man sich das Beispiel einer Kugeloberfläche im dreidimensionalen Raum ansieht:


Die Summe der Winkel addiert sich, anders als in der euklidischen Geometrie, nicht zu 180 Grad, und Parallelen gibt es nicht. Und den nicht-euklidischen Geometrien zufolge konnte man nicht nur gekrümmte Flächen, sondern auch 'gekrümmte' Räume konstruieren.

Das hätte eigentlich gar nicht geschehen dürfen.

Wenige Jahre zuvor hatte Immanuel Kant gezeigt (oder soll man sagen: zu zeigen geglaubt), dass Euklids Axiome dem Menschen vor jeder Erfahrung unmittelbar gegeben sind, in einer Weise, die er 'reine Anschauung' nannte. Eine Geometrie, die nicht leeres Spiel sein will, ist für Kant an unsere subjektiven Anschauungsformen gebunden.

Nach Bolyai aber wurde es möglich, eine Frage zu stellen, die für Kant gar keinen Sinn gehabt hätte: Welche der drei Geometrien beschreibt den uns umgebenden Erfahrungsraum am Besten?

Das ist heute noch eine offene Frage.

Einstein etwa geht in seiner Physik von einer 'gekrümmten Raumzeit' aus, die sich mittels der 'elliptischen Geometrie' beschreiben lässt.

Wie dem auch sei, es könnte sein, dass die von Bolyai entdeckte und 'aus dem Nichts geschaffene' Welt gerade die ist, in der wir leben.

Und das auf den ersten Blick Verblüffende ist, dass es, um ihre bloße Möglichkeit zu erkennen, des reinen Denkens bedurfte**.



*Gewusst hat dies übrigens schon der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss, der seine Entdeckungen aber unpubliziert ließ, weil er das Unverständnis und den Protest seiner Zeitgenossen fürchtete. Und zeitgleich mit Bolyai emtdeckte auch der russische Mathematiker Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski, dass sich Geometrien unter Verzicht auf das Parallelenaxiom formulieren lassen.

** Genauer betrachtet, ist es nicht wirklich verblüffend. Vor Gauss, Lobatschwswki und Bolyai wären gemessene Abweichungen von den Größenverhältnissen der euklidischen Geometrie als (unvermeidliche) Ungenauigkeiten unserer unvollkommenen Messungen bewertet worden,

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